Σήμερα θα κλείσουμε το σύντομο ταξίδι μας στην αρχαία Αίγυπτο, που, εκτός από το να μάθουμε το πώς χειρίζονταν τα κλάσματα οι άνθρωποι εκεί, μας βοήθησε να εξασκηθούμε περισσότερο στη χρήση τους για να λύνουμε πρακτικά θέματα δίκαιης διανομής αγαθών. Εκτός αυτού, είδαμε και το πώς οποιοδήποτε κλάσμα με αριθμητή μεγαλύτερο του 1 μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα άλλων, που να έχουν όλα αριθμητή 1.

Στο τέλος όμως έπρεπε να απαντηθεί το ερώτημα: Μήπως αυτή η ανάλυση κάποιες φορές κινδυνεύει να απαιτεί το άθροισμα ενός απροσδιόριστου πλήθους τέτοιων κλασμάτων; Και ξεκινήσαμε να αποδείξουμε ότι, όχι, δεν συμβαίνει κάτι τέτοιο. Με αφετηρία ένα κλάσμα (ανάγωγο), το (μ/ν) με το μ < ν, οπότε θα ισχύει ότι ν = κμ +ρ με 1<= ρ <= μ – 1 και κ>=1. Είχαμε καταλήξει, παραθέτοντας μια σειρά ανισοτήτων, στο ότι το αρχικό προς ανάλυση κλάσμα, το (μ/ν), θα πρέπει να βρίσκεται «εγκλωβισμένο» ανάμεσα στα κλάσματα (1/(κ + 1)) και (1/κ). Ετσι, για παράδειγμα το (4/5) θα ισχύει πως είναι κ=1, άρα κ+1 =2, οπότε (1/2) < (4/5) < (1/1). Αφαιρούμε το (1/2) από το (4/5), προκύπτει το (3/10) και επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία (10 = 3 x 3 + 1, άρα (1/(κ+1)) = (1/(3+1)) κ.λπ.), φτάνουμε στο ότι το (4/5) με αυτόν τον τρόπο αναλύεται ακριβώς στο άθροισμα των κλασμάτων: (1/2) + (1/4) + (1/20). Δηλαδή σε 3 κλάσματα, ενώ ο αριθμητής του ήταν ίσος με 4. Αυτό ας το κρατήσουμε στο μυαλό μας για λίγο ακόμη, θα μας χρειαστεί, και να προχωρήσουμε αποδεικνύοντας πως ένα κλάσμα (μ/ν) θα αναλυθεί το πολύ σε μ βήματα, άρα σε μ κλάσματα, ίσως και λιγότερα!

Προχωρούμε στην αφαίρεση, όπως κάναμε στο παράδειγμα για το (4/5): (μ/ν) – (1/(κ+1)). Κάνοντας τις πράξεις και αντικαθιστώντας το ν με το ίσο του κμ +ρ καταλήγουμε στο κλάσμα: ((μ-ρ)/ν(κ+1)). Σε αυτό παρατηρούμε ότι ο αριθμητής μειώθηκε. Από μ έγινε (μ-ρ). Συνεχίζοντας τη διαδικασία, όπως δείξαμε στο παράδειγμα για τα (4/5), η μείωση αυτή θα συνεχίζεται. Αρα το πολύ σε (μ-1) φορές, ίσως και λιγότερες, θα έχουμε αναλύσει το αρχικό κλάσμα σε άθροισμα κλασμάτων (αλλά όχι με άπειρους όρους). Οι αιγύπτιοι μαθηματικοί δηλαδή ήξεραν τι έκαναν, έστω και αν σήμερα εμείς έχουμε απλοποιήσει ακόμη περισσότερο τα πράγματα, χωρίς όμως να είναι βέβαιο πως οι μικροί μαθητές με τα διάφορα «μαγικά» και ακαταλαβίστικα (κυπελλάκια, κανόνες για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, «τα κάνουμε ομώνυμα») έχουν ωφεληθεί ανάλογα ώστε να γνωρίζουν τα κλάσματα σε βάθος.

Οι αριθμοί που εκφράζονται ως ο λόγος δύο ακεραίων ονομάζονται ρητοί. Τι γίνεται όμως αν τους ρητούς αρχίσουμε να τους εκφράζουμε ως δεκαδικούς; Πέρα από τα γνωστά, ότι μερικά κλάσματα μεταπίπτουν σε μια ατέρμονη διαδικασία προσθήκης όρων για καλύτερη προσέγγιση της τιμής τους, όπως είναι το (1/3), αρκετά ενδιαφέροντα αρχίζουν να εμφανίζονται με τα κλάσματα τα μικρότερα της μονάδας. Από τις μετατροπές των κλασμάτων σε δεκαδικούς βγαίνουν συμπεράσματα που δεν επισημαίνονται στα μαθήματα του σχολείου.

Οπως διαπιστώνεται εύκολα, τα ψηφία στο δεκαδικό τμήμα παρουσιάζουν γρήγορα ή αργά μια περιοδικότητα. Και εδώ πρέπει πρώτα να δώσουμε παραδείγματα για να γίνει κατανοητό τι εννοούμε: Το (1/24) = 0,041666… μετά τα τρία πρώτα δεκαδικά ψηφία αποκτά περιοδικότητα, αφού έχουμε πλέον μόνο το 6 να επαναλαμβάνεται συνεχώς. Το (1/7) = 0,142857142857… παρουσιάζει μια περιοδικότητα έξι ψηφίων. Εννοείται πως κλάσματα όπως το (1/2) = 0,5000… ή το (3/4)= 0,7500… είναι και αυτά μέσα.

Θα πρέπει όμως πρώτα να αναλύσουμε κάπως βαθύτερα τη μετατροπή από κλάσμα δύο ακεραίων σε δεκαδικό αριθμό και μετά να δούμε γιατί εμφανίζεται αναπόφευκτα περιοδικότητα στα ψηφία.

Πνευματική Γυμναστική

• Ο Α και ο Β ίδρυσαν εταιρεία. Ο Α επένδυσε το διπλάσιο ποσό από τον Β. Δύο χρόνια αργότερα ο Γ θέλησε να συμμετάσχει και εκείνος στην εταιρεία. Εδωσε λοιπόν 60.000 ευρώ και έγινε ισότιμο μέλος. Από αυτές τις 60.000 πόσες θα πρέπει να πάρει ο Α και πόσες ο Β;
• Υπάρχουν κάποιοι αριθμοί που χαρακτηρίζονται ως V-numbers. Το χαρακτηριστικό τους είναι ότι με τα ψηφία τους συμβαίνει το εξής: Αν πάρουμε έναν τριψήφιο αριθμό, το μεσαίο ψηφίο, δηλαδή αυτό των δεκάδων, είναι μικρότερο από τα ψηφία των εκατοντάδων. Παραδείγματος χάριν οι αριθμοί: 612, 324, 928. Πόσοι τριψήφιοι V-numbers υπάρχουν;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

• Ζητούσαμε να βρεθεί ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορούμε να φτιάξουμε συνδυάζοντας τρεις ακέραιους μονοψήφιους αριθμούς. Προφανώς θα πρέπει να ζητήσουμε τη βοήθεια του 9. Και της διαδικασίας με τους εκθέτες: (99)9. Πρόκειται για τεράστιο αριθμό.
• Θέλαμε να υπολογιστεί κάτι που φαίνεται δύσκολο και μεγαλεπήβολο: Ποια είναι η πιθανότητα, ανακατεύοντας την τράπουλα, ο εκάστοτε συνδυασμός των φύλλων να έχει εμφανιστεί ξανά από τότε που δημιουργήθηκε η Γη (πριν από 4,5 δισεκατομμύρια χρόνια). Ο αριθμός των διατάξεων των 52 φύλλων της τράπουλας (δηλαδή το πώς είναι τοποθετημένα το ένα μετά το άλλο), όπως είχαμε αναλύσει παλαιότερα, είναι 52, δηλαδή 52 x 51 x 50… 3 x 2 x 1. Και το τελικό αποτέλεσμα είναι ένας τερατώδης αριθμός κοντά στο 1067 (10 στην 67η δύναμη ή 1 και 67 μηδενικά δίπλα του). Τα δευτερόλεπτα που έχουν περάσει από τη στιγμή που «δημιουργήθηκε» η Γη πριν από 4,5 δισεκατομμύρια χρόνια είναι 1017 (1 με 17 μηδενικά δίπλα του). Ακόμη και αν δεχτούμε πως από το πρώτο δευτερόλεπτο της ύπαρξής της ζούσαν σε αυτή 8 δισεκατομμύρια άνθρωποι, όπως τώρα, και δεν έκαναν τίποτα άλλο από το να ανακατεύουν και να μοιράζουν φύλλα, ο πολλαπλασιασμός των δύο δίνει κατά προσέγγιση το 1027. Η πιθανότητα λοιπόν να συμπέσει ένας συνδυασμός με έναν άλλο είναι (1027/1067). Και αυτό δίνει (1/1040), δηλαδή έναν αριθμό 0,000… με 39 μηδενικά μπροστά του. Αρα πολύ κοντά στο μηδέν.

‘Εντυπη έκδοση Το Βήμα